\subsection{轴对称和轴对称图形}\label{subsec:czjh1-3-17}

在日常生活里，我们常见到下面一些图形（图 \ref{fig:czjh1-3-60}）， 例如，画出的双手，天平的两个称盘等。
如果把它们沿某一条直线翻折过来，其中一个就和另一个重合。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=4cm]{../pic/czjh1-ch3-60-a.png}
        \caption*{甲}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=6cm]{../pic/czjh1-ch3-60-b.png}
        \caption*{乙}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-60}
\end{figure}

把一个图形沿着某一条直线折过来，如果它能够与另一个图形重合，
那么我们说这两个图形\zhongdian{关于这条直线对称}，
两个图形中的对应点叫做关于这条直线的\zhongdian{对称点}，
这条直线叫做\zhongdian{对称轴}。
例如，在图 \ref{fig:czjh1-3-61} 中，$\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 关于直线 $MN$ 对称，
点 $A$ 和 $A'$， $B$ 和 $B'$， $C$ 和 $C'$ 是关于直线 $MN$ 的对称点，
直线 $MN$ 是对称轴。

因为两个关于某直线对称的图形是可以互相重合的，所以它们一定全等。

下面，我们研究关于轴对称的两个图形的性质。

根据定义，如果点 $A$ 和 $A'$ 是关于直线 $MN$ 的对称点（图 \ref{fig:czjh1-3-61}），
那么沿 $MN$ 折过来，点 $A$ 与 $A'$ 重合，于是
\begin{align*}
    & AP = PA' \douhao \\
    & \angle MPA = \angle MPA' = Rt \angle \douhao
\end{align*}
也就是直线 $MN$ 垂直平分线段 $AA'$。 因此可得：

\begin{xingzhi}[性质1]
    如果两个图形关于某直线对称，那么对应点的连线被对称轴垂直平分。
\end{xingzhi}

在图 \ref{fig:czjh1-3-61} 中， 把两个图形沿对称轴 $MN$ 对折后，直线 $AB$ 和 $A'B'$ 能够重合。
如果直线 $AB$ 与 $MN$ 相交，那么 $A'B'$ 也与 $MN$ 相交于同一点。 因此，又可以得到：

\begin{xingzhi}[性质2]
    两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点在对称轴上。
\end{xingzhi}

性质1 的逆命题：“如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称” 也是成立的。
我们有时用它判定两个图形是否对称。


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-61}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-61}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-62}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-62}
    \end{minipage}
\end{figure}


\liti 已知 $\triangle ABC$ 和直线 $MN$ （图 \ref{fig:czjh1-3-62}）。

求作：$\triangle A'B'C'$， 使 $\triangle A'B'C'$ 与 $\triangle ABC$ 关于 $MN$ 对称。

\zuofa 1. 作 $BD \perp MN$， 垂足 $D$。 延长 $BD$ 到 $B'$， 使 $DB' = BD$， 得到点 $B$ 的对称点 $B'$。

2. 同法作点 $C$ 的对称点 $C'$。

3. 因为点 $A$ 在对称轴 $MN$ 上，所以点 $A$ 的对称点 $A'$ 与 $A$ 重合。

4. 连接 $A'B'$、$B'C'$、$C'A'$。

$\triangle A'B'C'$ 就是所求的三角形。

\liti 如图，在铁路 $a$ 的同侧有两个工厂 $A$、$B$，要在路边建一个货场 $C$，
使 $A$、$B$ 两厂到货场 $C$ 的距离的和最小。在图上作出点 $C$。

已知；直线 $a$ 和 $a$ 的同侧两点 $A$、$B$（图 \ref{fig:czjh1-3-63}）。

求作：点 $C$， 使 $C$ 在直线 $a$ 上，并且 $AC + CB$ 最小。

\zuofa 1. 作点 $A$ 关于直线 $a$ 的对称点 $A'$。

2. 连结 $A'B$ 交 $a$ 于点 $C$。

点 $C$ 就是所求的点。

\zhengming 在直线 $a$ 上另取一点连结 $C'$，连结 $AC$、$AC'$、$A'C'$、$C'B$。

因为直线 $a$ 是点 $A$、$A'$ 的对称轴，点 $C$ 在对称轴上，

$\therefore$ \quad $AC = A'C$， $AC' = A'C'$，

$\therefore$ \quad $AC + CB = A'C + CB = A'B$。

在 $\triangle A'C'B$ 中，

$\because$ \quad $A'B < A'C' + C'B$。

$\therefore$ \quad $AC + CB < AC' + C'B$，

即 \quad $AC + CB$ 最小。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{4.5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-63}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-63}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{9.5cm}
        \centering
        \includegraphics[width=9cm]{../pic/czjh1-ch3-64.png}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-64}
        \end{minipage}
\end{figure}

如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，也就是图形和它本身重合，
那么这个图形叫做\zhongdian{轴对称图形}， 这条直线就是它的对称轴。
例如，等腰三角形是一个轴对称图形，它的底边的垂直平分线是它的对称轴；
角也是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线；
线段也是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线。
日常生活中见到的轴对称图形也很多，如图 \ref{fig:czjh1-3-64} 中的图形，都是轴对称图形。

\begin{lianxi}

\xiaoti{如果 $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$， 能否说 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 是对称的？为什么？}

\xiaoti{已知 $\triangle ABC$。 以边 $BC$ 所在的直线为对称轴， 作一个三角形和它对称。}

\xiaoti{为什么等边三形是轴对称图形？ 画出它的对称轴。 共有几条对称轴？}

\end{lianxi}

